ECON217HWARMA - 7. Trova la media mobile. ECON217HWARMA 1. Se una serie temporale è fermo covarianza, che cosa sappiamo di E (X t) e COV (X t. X tk) per t 1. T e k 0, 1, 2. 2. Se è un rumore bianco processo, quello che sappiamo di e (X t), e COV (X t. X tk) per per t 1. T e k 0, 1, 2. 3. Definire e confrontare la funzione di autocorrelazione e la funzione di autocorrelazione parziale una serie temporale stazionaria. 4. Supponiamo che Y t Y t segue phi Y t-1 epsilon t epsilon t WN (0. Sigma 2). un. Stato l'ipotesi (s) su phi che renderà stazionario. b. Supponendo è stazionaria. Trova la funzione di autocorrelazione e la funzione di autocorrelazione parziale. 5. Supponiamo che Y t segue Y t t epsilon theta Epsilon t-1 t Epsilon WN (0, Sigma 2). un. Stato l'ipotesi (s) che farà stazionaria. b. Trova la funzione di autocorrelazione di. c. Annotare la funzione di autocorrelazione parziale. 6. Si consideri un record di serie storica. Discutere di come si farebbe specifica un modello di serie storica usando l'approccio in tre fasi Box-Jenkins e l'approccio criterio di informazioni. Questa è la fine dell'anteprima. Iscriviti per accedere al resto del documento. il testo non formattato anteprima: 7. Trova la rappresentazione media mobile, la risposta all'impulso, e la previsione di ciascuno dei seguenti processi: a) (1-L) Y t t. b) (t t 1-L) Y. c) Y t (1 L) t. e d) Y t (1 L) t. 8. Si consideri il processo autoregressivo del secondo ordine y t a a 2 y T-2 t, dove un 2 amplt 1. a. Trova: i. E t-2 y t II. E t-1 y t iii. E t y t 2 iv. Cov (y t. Y t-1) v. Cov (y t. Y t-2) VI. le autocorrelazioni parziali 11 e 22 b. Trova la funzione di risposta impulsiva. Dato y t-2. tracciare gli effetti sul scosse t sulla sequenza. c. Determinare la funzione di previsione: E t y t s. L'errore di previsione) (set è la differenza tra YTS ed E tyt s derivare il correlogramma della sequenza Suggerimento:.... Trova E t) (SE t Var) (SE t e) () (E TTT jsese per j 0 a s. 9. Enders, capitolo 2, domanda 11. documento di vista completa Questa nota è stato caricato su 09.292.010 per il Econometri corso ECON insegnata dal prof Fairlie durante il periodo invernale 03909 a UCSC. Fare clic per modificare il documento detailsImpulse di risposta e il segnale digitale Convolution elaborazione è (per lo più) applicato algebra lineare. La rilevanza di moltiplicazione di matrici si è rivelata facile da afferrare per la corrispondenza dei colori. avevamo fissato dimensioni di 1 (numero di luci di prova), 3 (numero di luci primarie, il numero di fotopigmenti), e 31 (numero di punti campione in una distribuzione spettrale di potenza per una luce, o l'assorbimento spettrale per un pigmento) e si è scoperto che alcuni fatti importanti sulla visione colore possono essere modellazione come proiezione dei vettori spettrali di dimensione superiore in un bassa-dimensionale sottospazio psicologico. E 'anche facile vedere come questa idea funziona quando sono stati modellare una relazione tra le variabili indipendenti (come condizioni sperimentali) e variabili dipendenti (come le risposte soggetto), o quando si stavano cercando di classificare le serie di misurazioni multivariata (come valori formanti). Ma che cosa vuol dire interpretare i segnali di elaborazione audio o video come moltiplicazione di matrici E perché dovremmo prendere in considerazione un caso semplice. I campioni standard CD Una forma d'onda audio 44.100 volte al secondo, in modo che un pezzo della durata di 2:48 contiene 7,408,800 campioni (ignorando il problema stereo). Supponiamo di voler regolare il volume relativo di bassa, media e alte frequenze, per compensare l'acustica della stanza, il nostro sistema di altoparlanti, o il nostro gusto personale. Le 7,408,800 campioni sono elementi di un vettore qualsiasi funzione di equalizzazione (e in seguito) è lineare e ogni trasformazione lineare è equivalente ad una moltiplicazione della matrice in modo da poter modellare il suo effetto su un canale del nostro pezzo di musica come moltiplicazione per un 7.408.800 by 7.408.800 matrice. Tutto ciò che dobbiamo fare è quello di moltiplicare la nostra 7.408.800 elementi vettore colonna da questa matrice, producendo un altro vettore colonna con lo stesso numero di elementi - e questo sarà il nostro po equalizzato di audio. Volendo operare su una registrazione mezz'ora, l'entità dell'operazione sarebbe proporzionalmente. Questo non sembra come una tecnica molto pratico. E 'concettualmente corretto, e, talvolta, può essere utile pensare alle cose in questo modo. Tuttavia, questo è (manco a dirlo), non come si realizza una implementazione DSP di un equalizzatore. Ci sono modi molto più facile, che sono matematicamente equivalenti per sistemi con determinate proprietà, le cui matrici avere proprietà corrispondenti che permettono un'attuazione semplice ed efficiente del calcolo equivalente. Questo argomento può essere ridotto a un slogan: L'effetto di qualsiasi lineari, sistema di shift-invariante del segnale in ingresso arbitraria è ottenuto convoluzione del segnale di ingresso con la risposta del sistema ad un impulso unitario. Per avere un'idea di ciò che questo potrebbe essere un bene per, considerare alcune cose nel mondo reale che sono (o almeno possono essere modellate con successo come) sistemi di spostamento-invarianti lineari: Una volta capito la terminologia in questo slogan, sarà quasi immediatamente evidente che il suo vero modo in un certo senso questa conferenza è soprattutto una questione di imparare alcune definizioni sappiamo già che cosa è un sistema lineare. Un sistema di cambio-invariante è uno in cui l'inversione di ingresso si sposta sempre l'uscita della stessa quantità. Quando sono stati rappresentare i segnali da vettori, quindi un cambiamento significa una costante intera aggiunto a tutti gli indici. Così spostando il vettore v di n campioni produce un vettore w tale che w (a) v (i). Nota: c'è un piccolo problema qui è deciso cosa succede ai bordi. Così per un cambiamento positivo n il primo elemento di w dovrebbe corrispondere all'elemento n-esimo meno di v - ma v isnt definito per gli indici inferiori a 1 (o pari a zero, se decidiamo di cominciare da lì). C'è un problema simile all'altra estremità. Convenzionali DSP matematica risolve questo problema trattando segnali come aventi misura infinita - definita per tutti gli indici da meno infinito a infinito. segnali reali in genere di inizio e fine, comunque. Questa è una domanda ben ritornare più volte, anche una volta alla fine di questa relazione, se ben fornire un resoconto leggermente più formale sia nella prospettiva EEDSP e la prospettiva algebra lineare. Per i segnali che sono funzioni del tempo - cioè dove la successione degli indici corrisponde ad una sequenza di punti di tempo - un sistema shift-invariante può equivalentemente essere definito un sistema tempo-invariante. Qui la proprietà di shift-invarianza ha un significato particolarmente intuitiva. Supponiamo di sondare alcune risonatore acustico con un particolare ingresso alle ore 12.00 del 25 gennaio 1999, e ottenere una risposta (qualunque esso sia), che registriamo. Poi si sonda lo stesso sistema di nuovo con lo stesso ingresso, alle ore 12.00 del 26 gennaio 1999. Ci aspettiamo di registrare la stessa uscita - solo spostato in avanti nel tempo di 24 ore la stessa aspettativa si applicherebbe per una differenza di tempo di un'ora, oppure minuto. Infine, se ipoteticamente ritardiamo l'ingresso dal 1 millisecondo, ci aspettiamo che l'uscita sarà ritardato per lo stesso importo - e per essere altrimenti invariato Il risonatore non sa che ore sono, e risponde allo stesso modo indipendentemente da quando è sondato. Un impulso unitario (ai fini della presente) è solo un vettore le cui primo elemento è 1, e le cui altri elementi sono 0. (Per gli ingegneri elettrici segnali digitali di misura infinita, l'impulso unitario è 1 per l'indice 0 e 0 per tutti altri indici, da meno infinito a infinito). Bene lavorare fino a che spira è di dare un semplice esempio. Ecco un grafico di 50 campioni (circa 6 millisecondi) di una forma d'onda vocale. Sono stati rappresentare questa forma d'onda come una sequenza di numeri - un vettore - e da questo punto di vista una rappresentazione grafica più adatto dei dati stessi è una trama lollipop, che ci mostra ogni campione come un piccolo lollipop attaccare l'alto o verso il basso da una linea zero : Consente di ingrandire solo il primo di sei di questi numeri: Matlab ci dirà loro valori specifici: possiamo pensare a questo sei vettore elemento s come la somma di altri sei vettori S1 a S6. ciascuno dei quali porta solo uno dei suoi valori, con tutti gli altri valori che è zero: Ricordiamo che un impulso (nel contesto attuale, comunque) è un vettore il cui primo elemento ha il valore 1 e tutti i cui elementi successivi sono zero. Il vettore weve chiamato S1 è un impulso moltiplicato per 10622. Il vettore S2 è un impulso spostato a destra di un elemento e scalato dal 5624. Così siamo in decomposizione s in una serie di impulsi scalati e spostato. Dovrebbe essere chiaro che possiamo fare questo per un vettore arbitrario. Lo stesso di decomposizione rappresentato graficamente: Perché questa interessante Beh, prendere in considerazione alcuni arbitrario shift-invariante sistema lineare D. Supponiamo che applichiamo D (senza sapere nulla di più) per un impulso, con il risultato mostrato di seguito: il primo campione della produzione è 1, il secondo campione è -1, e il resto dei campioni sono 0. Questo risultato è la risposta all'impulso di D. Questo è sufficiente per prevedere il risultato dell'applicazione di D per i nostri impulsi scalati e spostato, s 1. s n. Perché D è shift-invariante. l'effetto di spostare l'ingresso è solo di spostare l'uscita della stessa quantità. Così un ingresso costituito da un impulso unitario spostato di qualsiasi quantità arbitraria produrrà una copia della risposta impulsiva. spostato dalla stessa quantità. Sappiamo anche che D è lineare. e quindi un impulso scalato come input produrrà una copia in scala della risposta all'impulso come uscita. Utilizzando questi due fatti, possiamo predire la risposta di D a ciascuno degli impulsi scalati e spostato s 1. s n. Questo è mostrato graficamente di seguito: Se si organizzano le risposte a S1. S6 come le righe della matrice, i numeri reali sarà simile a questa: (La disposizione di queste uscite come le righe di una matrice è puramente per comodità tipografica anche notare che weve permettono la risposta alla S6 input per cadere alla fine del mondo , per così dire) Queste informazioni, a sua volta, è sufficiente per farci predire la risposta del sistema D al vettore s originale. che (per costruzione) è solo la somma di S1 S2 S3 s4 s5 S6. Poiché D è lineare, applicandola a tale somma è lo stesso applicandolo ai singoli componenti della somma, e sommando i risultati. Questo è solo la somma delle colonne della matrice sopra riportati: (Matlab somma, applicato ad una matrice, produce un vettore di riga delle somme delle colonne.) Si noti che (almeno per la seconda posizione nella somma e successivi) questo rende l'uscita in posizione i pari alla differenza tra l'ingresso in posizione i e l'ingresso in posizione i-1. In altre parole, D sembra essere calcolando la differenza prima del suo ingresso. Dovrebbe essere chiaro che la stessa procedura di base funziona per qualsiasi sistema lineare shift-invariante, e per qualsiasi ingresso a tale sistema: esprimere l'input come una somma di impulsi scalati e spostato calcolare la risposta a ciascuno di questi scalando e spostando la risposta all'impulso sistemi aggiungere il set risultante di risposte all'impulso in scala e spostato. Questo processo di aggiunta di un insieme di copie in scala e spostato di un vettore (qui la risposta all'impulso), utilizzando i valori di un altro vettore (qui all'ingresso) come i valori di scala, è convoluzione - almeno questo è un modo per definire esso. Un altro modo: la convoluzione di due vettori A e B è definito come un vettore c. il cui elemento kth è (in termini MATLAB-ish) (Il 1 in k1-j è dovuto al fatto che gli indici MATLAB hanno il cattivo gusto di partire da 1 invece del matematicamente più elegante 0). Questa formulazione aiuta indicano che si può anche pensare di convoluzione come processo di prendere una media ponderata esecuzione di una sequenza - cioè, ciascun elemento del vettore di uscita è una combinazione lineare di alcuni degli elementi di uno degli ingressi vectors - - dove i pesi sono presi dall'altro vettore di ingresso. Ci sono un paio di piccoli problemi: quanto tempo deve essere c e cosa dovremmo fare se k 1- j è negativo o maggiore della lunghezza di b. Questi problemi sono una versione degli effetti di bordo weve già accennato, e vedrà di nuovo. Una soluzione possibile è quella di immaginare che stiamo convolvendo due sequenze infinite create incorporando A e B in un oceano di zeri. Ora valori arbitrari indice --- quelli negativi, quelli che sembravano troppo grandi --- perfettamente senso. Il valore di un prolungato ed esteso B per i valori di indice di fuori della loro portata effettiva è ora perfettamente definiti: sempre zero. Il risultato di Equazione 1 sarà un'altra lunghezza infinita sequenza c. Un piccolo pensiero vi convincerà che la maggior parte c sarà anche necessariamente a zero, poiché i pesi non-zero dal b e gli elementi diversi da zero di A non coinciderà in tali casi. Come molti elementi di c hanno la possibilità di essere diverso da zero Ebbene, proprio quelle interi k per cui c'è almeno un intero j tale che la lunghezza 1 lt j lt (a) e 1 lt lunghezza k1-j lt (b). Con un po 'più di pensiero, si può vedere che questo significa che la lunghezza di c sarà uno inferiore alla somma delle lunghezze di ae b. Facendo ancora riferimento alla equazione 1, e immaginando i due vettori A e B come incorporato nei loro mari di zeri, possiamo vedere che avremo la risposta giusta se permettiamo k a decorrere dal 1 alla lunghezza (a) lunghezza (b) - 1, e per ogni valore di k. permettono j per eseguire di max (1, k 1 lunghezza (b)) a min (k, lunghezza (a)). Anche in questo caso, tutto questo è in termini di indice MATLAB, e così possiamo trasferirlo direttamente a un programma myconv MATLAB () per eseguire convoluzione: Questo ci darà solo il pezzo di c concettualmente infinita che ha la possibilità di essere diverso da zero . MATLAB ha una funzione conv built-in convoluzione (), in modo da poter confrontare quello che abbiamo appena scritto: Per inciso, dobbiamo ricordare che convoluzione ci darà anche i risultati corretti, se pensiamo a una, B e C come coefficienti di polinomi, con c essendo i coefficienti del polinomio risultante dalla moltiplicazione aeb insieme. Così convoluzione è isomorfo a moltiplicazione polinomiale, in modo che ad esempio può anche essere interpretato nel senso che (2x 3) (4x 5) 8x2 22x 15 e può anche essere interpretato nel senso che (3x 4) (5x2 6x 7) 15x3 38x2 45x 28 Se credi che questo, segue immediatamente dalla commutativity di moltiplicazione che circonvoluzione commuta anche (ed è associativa, e distribuisce su oltre). Possiamo esemplificano queste proprietà empiricamente: Questi sono punti importanti, quindi se non immediatamente vedere che arealways vero, trascorrere del tempo con l'equazione 1 - o con l'operatore di convoluzione in Matlab - e convincere te stesso. Weve dato due immagini di conv (a, b): in uno, si sommano una serie di copie in scala e spostato di una, ogni copia scalata da un valore di b, e spostato verso l'allineamento con la posizione di quel valore in B . nell'altro, usiamo prendere una media ponderata di esecuzione di un, prendendo b (indietro) come i pesi. Possiamo vedere il rapporto tra queste due immagini esprimendo l'equazione 1 in forma matriciale. Abbiamo pensato di b come la risposta all'impulso del sistema, una come ingresso, ec come uscita. Ciò implica che la matrice S avrà dimensioni lunghezza (c) per lunghezza (a), se c S a è di essere legale matix-ese. Ogni elemento di uscita c sarà il prodotto interno di una fila di S con l'ingresso a. Questo sarà esattamente Equazione 1 se la fila di S in questione è solo b. tempo-rovesciata, spostato, e opportunamente riempito con zeri. Come B si sposta fuori dal quadro, che abbiamo appena spostamento zeri dal mare di zeri che immaginiamo noi stessi a galleggiare in una piccola modifica del nostro programma circonvoluzione produrrà la matrice necessaria:. Così CMAT (a, b) crea un operatore di matrice C che può essere moltiplicata per il vettore a creare esattamente lo stesso effetto di convoluzione di una con b: Questo funziona perché le righe di C sono opportunamente spostati (retro-running) copie b - o, equivalentemente, perché le colonne di C sono opportunamente spostato (avanti-running) copie dei b. Questo ci dà le due immagini di operatori convoluzionali: IL RUNNING media ponderata dei INGRESSO: Le righe di C sono spostate indietro le copie di b. e il prodotto interno di ciascuna riga con un ci darà una media ponderata di un pezzo adeguato di a. che ci atteniamo nel posto appropriato nel uscita c. LA SOMMA DI ridimensionato e spostato COPIE della risposta all'impulso: Le colonne di C vengono spostati copie di b. Prendendo l'altra vista della moltiplicazione di matrici, e cioè che l'uscita è la somma delle colonne C ponderate con gli elementi di un. ci dà la altre immagini della circonvoluzione, vale a dire l'aggiunta di una serie di copie in scala e spostato della risposta impulsiva b. Un esempio più: Nel lavorare attraverso i dettagli di convoluzione, abbiamo dovuto trattare con l'effetto di bordo: il fatto che l'equazione convoluzione (Equazione 1) implica valori di indice per ingressi di lunghezza finita a e b fuori della gamma in cui sono definiti . Ovviamente potremmo scegliere un certo numero di modi diversi per fornire i valori mancanti --- la scelta particolare che facciamo dovrebbe dipendere da ciò che stiamo facendo. Ci sono alcuni casi in cui il mare di zeri concetto è esattamente corretto. Tuttavia, vi sono situazioni alternative nelle quali altre idee rendono più senso. Per esempio, potremmo pensare di B come seduto in un mare di infinite copie ripetute di se stesso. Poiché questo significa che i valori di indice l'estremità del b avvolgere intorno all'altra estremità in maniera modulare, come se b era su un cerchio, il tipo di convoluzione risultante è chiamato convoluzione circolare. Tenetelo a mente: torneremo ad esso in una conferenza più tardi. Nel frattempo, lascia ripetere lo slogan siamo partiti: L'effetto di qualsiasi lineari, sistema di shift-invariante del segnale in ingresso arbitrario viene ottenuto mediante convoluzione del segnale di ingresso con la risposta del sistema ad un impulso unitario. (Si noti che questa è la stessa proprietà di sistemi lineari che abbiamo osservato nel caso di corrispondenza dei colori -. Dove abbiamo potuto imparare tutto ciò che dovevamo sapere sul sistema sondando con una serie limitata di ingressi monocromatiche Se il sistema fosse solo lineare e si sposta-invariante, l'analogia qui sarebbe di sondare con impulsi unitari ad ogni valore di indice possibile - ogni tale sonda noi dando una colonna della matrice sistema che era pratico con un vettore di 31 elementi, ma. sarebbe meno attraente con vettori di milioni o miliardi di elementi Tuttavia, se il sistema è anche shift-invariante, una sonda con un solo impulso è sufficiente, poiché le risposte di tutti i casi spostate possono essere previste da esso.) convoluzione può sempre essere visto come matrice moltiplicazione - questo deve essere vero, perché un sistema che può essere implementato da convoluzione è un sistema lineare (oltre ad essere shift-invariante). Shift-invarianza significa che la matrice del sistema ha particolari esuberi, però. Quando la risposta all'impulso è di durata finita, questo slogan non è solo matematicamente vero, ma è anche spesso un modo molto pratico per implementare il sistema, perché possiamo attuare la convoluzione in un numero fisso di moltiplicare-aggiunge al campione di ingresso (esattamente come molti come ci sono valori diversi da zero in per la risposta all'impulso sistemi). Sistemi di questo tipo sono generalmente chiamati filtri finiti risposta impulsiva (FIR), o equivalentemente movimento filtri medi. Quando la risposta impulsiva è di durata infinita (come perfettamente può essere in un sistema di cambio-invariante), allora questo slogan rimane matematicamente vero, ma è di valore meno pratico (a meno che la risposta impulsiva può essere troncata senza effetto significativo). Bene imparare in seguito come implementare risposta all'impulso infinita (IIR) filtra in modo efficiente. La prospettiva EEDSP. L'obiettivo di questa sezione è quello di sviluppare il materiale di base in risposta all'impulso e convoluzione nello stile che è comune nella letteratura elaborazione del segnale digitale nella disciplina di Ingegneria Elettrica, in modo da aiutare a familiarizzare con il tipo di notazione che si è probabile incontrare lì. Inoltre, forse andando oltre le stesse idee di nuovo in una notazione diversa vi aiuterà ad assimilare THM - ma attenzione a mantenere la notazione DSPEE separata nella vostra mente da notazione algebra lineare, o si diventa molto confuso In questa prospettiva, trattiamo un segnale s digitale come infinitamente lunga sequenza di numeri. Siamo in grado di adattare la finzione matematica dell'infinito alla realtà di tutti i giorni finita assumendo che tutti i valori di segnale sono pari a zero al di fuori di una certa lunghezza finita sub-sequenza. Le posizioni in uno di questi infinitamente lunghe sequenze di numeri sono indicizzate da numeri interi, in modo che prendiamo s (n) per indicare il numero di n-esimo in sequenza s, di solito chiamato s di n in breve. Talvolta vi alternativa utilizzare s (n) per fare riferimento alla intera sequenza s. pensando di n come variabile libera. Vi faremo un indice come gamma n sopra negativo così come numeri interi positivi, e anche lo zero. Così dove le parentesi sono un insieme significato notazione, in modo che l'intera espressione, la serie di numeri s (n), dove n assume tutti i valori da meno infinito a infinito. Si farà riferimento ai singoli numeri in una sequenza s come elementi o campioni. Il campione parola deriva dal fatto che di solito si pensa di queste sequenze come versioni discretamente-campione di funzioni continue, come il risultato di campionamento di una forma d'onda acustica qualche numero finito di volte al secondo, ma in realtà nulla che viene presentato in questa sezione dipende da una sequenza essendo altro che una serie ordinata di numeri. L'impulso unitario o la sequenza di campionamento unità. scritto, è una sequenza che è un punto di campionamento a zero e lo zero ovunque: La capitale greca sigma,, somma pronunciato. è usato come una notazione per l'aggiunta di un insieme di numeri, tipicamente avendo alcuni prendono variabile su un insieme di valori specificati. Così è una scorciatoia per è una scorciatoia per La notazione è particolarmente utile nel trattare con somme più sequenze. nel senso della sequenza usata in questa sezione, come nel seguente esempio semplice. La sequenza di unità passo. u (n) scritto, è una sequenza che è zero in tutti i punti di campionamento minore di zero, e 1 in tutti i punti di campionamento maggiori o uguali a zero: La sequenza di unità passo può anche essere ottenuto come somma cumulativa dell'unità dell'impulso: Fino a n -1 somma sarà 0, dato che tutti i valori di n per negative sono 0 a n 0 la somma cumulativa salta a 1, poiché e la somma cumulativa rimane a 1 per tutti i valori di n maggiore di. poiché tutto il resto dei valori sono ancora 0. Questo non è un uso particolarmente impressionante della notazione, ma dovrebbe aiutare a capire che può essere perfettamente sensato parlare di somme infinite. Si noti che si può anche esprimere il rapporto tra u (n) e nell'altra direzione: In generale, è utile parlare applicare le operazioni ordinarie di aritmetica sequenze. Quindi possiamo scrivere il prodotto di sequenze xey come xy. cioè la sequenza costituita dai prodotti degli elementi corrispondenti (non il prodotto interno): Analogamente la somma delle sequenze x ed y può essere scritto x y. il che significa Una sequenza X può essere moltiplicato per uno scalare, con il significato che ogni elemento di x è individualmente così moltiplicata: Infine, una sequenza può essere spostata da qualsiasi numero intero di punti di campionamento: Abbiamo già usato questa notazione quando abbiamo espresso l'impulso unitario sequenza in termini di sequenza gradino unitario, come la differenza tra un dato campione e il campione immediatamente precedente. Ogni sequenza può essere espresso come somma di unità prelevate scalate e spostate. Concettualmente, questo è banale: dobbiamo solo fare, per ogni campione della sequenza originale, una nuova sequenza il cui unico non-zero utente è quel campione scelto, e sommiamo tutte queste sequenze singoli campioni per compensare la sequenza originale. Ognuna di queste sequenze-campione singolo (in realtà, ogni sequenza contiene infiniti campioni, ma solo uno di questi è non-zero) a sua volta può essere rappresentato come un impulso unitario (un campione di valore 1 si trova nel punto) scalato dal pertinente il valore e spostato verso il luogo appropriato. In linguaggio matematico, questo è dove k è una variabile che individua ciascuno dei campioni originali, utilizza il valore di scalare l'impulso unitario, e quindi sposta il risultato alla posizione del campione selezionato. Un sistema o trasformazione T Mappe una sequenza di ingresso x (n) su una sequenza di uscita y (n): 1. Motivare Esempio Se si regredire l'attuale tasso di inflazione quarter8217s,, sul tasso di quarter8217s precedente utilizzando i dati FRED nel periodo dal Q3-1987 al Q4-2014, allora si ottiene l'AR (1) stima puntuale, in cui il numero in parentesi che denota l'errore standard, e le serie storiche di inflazione-rate,, è stato svilito. In altre parole, se il tasso di inflazione è maggiore nei punti Q1-2015, quindi in media sarà punti superiore nel Q2-2015, punti superiore nel Q3-2015, e così on8230 La funzione che descrive la cascata di inflazione futura-rate cambiamenti a causa di uno shock inatteso periodo è conosciuto come la funzione di impulso-risposta. Ma, molti fenomeni serie temporali interessanti coinvolgono più variabili. Ad esempio, Brunnermeier e Julliard (2008) mostrano che la casa-prezzo apprezzare rate,, è inversamente proporzionale al tasso di inflazione. Se si regredire i inflazione quarter8217s e la casa-prezzo tassi di apprezzamento attuali sui tassi quarter8217s precedenti utilizzando i dati svilite dal indice Case-ShillerS038P. quindi si ottiene: Queste stime puntuali indicano che, se il tasso di inflazione erano punti in più nel Q1-2015, allora il tasso di inflazione sarebbe punti in più nel Q2-2015 e il tasso di apprezzamento casa-prezzo sarebbe punti inferiore nel Q2-2015. Il calcolo della funzione di impulso-risposta per questo vettore auto-regressione (VAR) è più difficile che calcolando la stessa funzione per l'inflazione a tasso AR (1), in quanto il tasso di inflazione e la casa-prezzo shock dei tassi di apprezzamento sono correlate: In altre parole, quando si vede una scossa punto per l'inflazione, è anche tende a vedere uno shock punto al tasso di apprezzamento casa-prezzo. Così, calcolando gli effetti futuri di uno shock per il tasso di inflazione e una scossa punto al tasso di apprezzamento casa-prezzo che fornisce informazioni su una scossa un'unità che doesn8217t accadere nel mondo reale. In questo post, vi mostro come contabilizzare per questo genere di correlazione quando si calcola la funzione di impulso-risposta per VAR. Ecco il codice relativo. 2. Funzione impulso-risposta Prima di studiare VAR, let8217s prima definire la funzione di impulso-risposta con più attenzione nel mondo scalare. Supponiamo di avere alcuni dati generati da un AR (1), in cui, e. Per esempio, se we8217re guardando i dati di inflazione trimestrali,, quindi. In questa configurazione, cosa accadrebbe se ci fosse uno shock improvviso al periodo Come ci si aspetterebbe il livello di di cambiare ciò che circa il livello di Or, il livello di qualsiasi arbitrario per Come sarebbe uno shock punto al tasso di inflazione corrente propagarsi in futuri quarti Ebbene, it8217s facile calcolare l'aspettativa tempo: iterazione su questa stessa strategia dà poi l'aspettativa tempo: quindi, in generale, l'aspettativa tempo di qualsiasi futuro sarà data dalla formula, e la funzione di risposta impulsiva per la (1) processo di AR sarà: Se si sapeva che c'era una scossa improvvisa di dimensioni, allora la vostra aspettativa di cambierebbe dalla quantità. La figura seguente trame la funzione risposta impulsiva con il AR (1) stima puntuale dall'equazione (1). There8217s un altro modo leggermente diverso si potrebbe pensare a un impulso-risposta function8212namely, come i coefficienti per la rappresentazione media mobile delle serie storiche. Considerate riscrivere il processo di generazione dei dati utilizzando gli operatori di ritardo, dove, e così on8230 Ogni volta che il coefficiente di pendenza è più piccolo,, sappiamo che, e non esiste una rappresentazione a media mobile di: Cioè, piuttosto che scrivere ogni funzione della un valore ritardato, e uno shock contemporaneo, si possono invece rappresentare ciascuna come media ponderata di tutte le scosse precedenti that8217ve stato realizzato, con le scosse più recenti peso maggiore. Se normalizzare tutti gli shock avere varianza unitaria, allora i pesi stessi sarà data dalla funzione risposta impulsiva: Naturalmente, questo è esattamente quello you8217d aspetta per un processo covarianza stazionario. L'impatto degli shock passato sul valore realizzato corrente meglio che sia lo stesso come l'impatto di shock correnti su valori futuri. 3. Da ARS a VAR We8217ve appena visto come calcolare la funzione di impulso-risposta per un (1) processo di AR. Let8217s ora esaminare come estendere questo l'ambiente dove ci sono due serie storiche, invece di. Questa coppia di equazioni può essere scritto in forma matriciale come segue, dove e. Ad esempio, se si pensa a come il tasso trimestrale di inflazione e il tasso di apprezzamento casa-prezzo trimestrale, quindi la matrice dei coefficienti è dato in equazione (2). Niente circa la costruzione della rappresentazione a media mobile di preteso che sia uno scalare, in modo che possiamo usare esattamente gli stessi trucchi per scrivere il vettore - dimensionale come media mobile: Ma, it8217s molto meno chiaro in questo vettore con valori di impostazione come we8217d recuperare la funzione di risposta impulsiva dalla rappresentazione media mobile. In altre parole, what8217s l'analogo matrice Let8217s applicare l'operatore voglia. Questa matrice mistero, let8217s chiamano, deve avere due proprietà distinte. Innanzitutto, it8217s avuto modo di riscalare il vettore di shock,, in qualcosa che ha una norma unità, nello stesso modo che nella precedente analisi. Questo è il motivo per cui I8217m scrivere la matrice di mistero e non solo. In secondo luogo, la matrice deve tenere conto del fatto che le scosse, e, sono correlati, in modo che gli shock di punti al tasso di inflazione sono sempre accompagnate da punto di shock il tasso di apprezzamento casa-prezzo. Dato che le scosse a ciascuna variabile potrebbe avere diverse deviazioni standard, per esempio, mentre, l'effetto di uno shock per il tasso di inflazione al tasso di apprezzamento casa-prezzo,, sarà diverso rispetto l'effetto di uno shock per l'apprezzamento casa-prezzo tasso sul tasso di inflazione,. Così, ogni variabile nel vettore avrà la propria funzione di risposta impulsiva. Questo è il motivo per cui scrivo la matrice mistero piuttosto che. Si scopre che, se prendiamo ad essere la decomposizione di Cholesky di, allora avrà entrambe le proprietà che vogliamo, come sottolineato nel Sims (1980). Il caso semplice dimensionale è molto utile per capire perché. Per cominciare, let8217s scrivere la matrice di varianza e covarianza degli shock, come segue, dove. La decomposizione di Cholesky della può quindi essere risolto manualmente: Da we8217re solo lavorare con una matrice dimensionale, possiamo risolvere per mano: Così, per esempio, se vi è una coppia di ammortizzatori, poi converte questo shock in: In altre parole, la matrice ridimensiona avere norma unitaria, e ruota il vettore di spiegare la correlazione tra e. Per apprezzare come la rotazione tiene conto della correlazione positiva tra e, notare che matrice trasforma lo shock in un vettore che punta deviazione standard nella direzione e nella direzione. Cioè, dato che you8217ve osservato uno shock positivo, osservando uno shock sarebbe un risultato sorprendentemente basso. If we plug into our moving-average representation of , then we get the expression below, implying that the impulse-response function for is given by: The figure below plots the impulse-response function for both and implied by a unit shock to using the coefficient matrix from Equation (2 ). Post navigationFIR filters, IIR filters, and the linear constant-coefficient difference equation Causal Moving Average (FIR) Filters Weve discussed systems in which each sample of the output is a weighted sum of (certain of the) the samples of the input. Diamo un sistema somma pesata causale, dove causale significa che un dato campione di uscita dipende solo sul campione corrente di ingresso e altri ingressi precedenti nella sequenza. Né sistemi lineari in sistemi generali, non finite di risposta d'impulso, in particolare, hanno bisogno di essere causale. Tuttavia, la causalità è conveniente per un tipo di analisi che sono state andando a visitare al più presto. Se abbiamo simboleggiato gli ingressi come valori di un vettore x. e le uscite come valori di un vettore y corrispondente. allora tale sistema può essere scritta come dove i valori di aeb sono quotweightsquot applicate ai campioni di ingresso attuali e precedenti per ottenere il campione di uscita corrente. Possiamo pensare l'espressione come un'equazione, con il segno di uguale uguale significato, o come un'istruzione procedurale, con il segno di uguale senso di assegnazione. Consente scrivere l'espressione per ogni campione di uscita come un anello MATLAB di istruzioni di assegnazione, dove x è un N-lunghezza del vettore di campioni di ingresso e b è un M-lunghezza del vettore dei pesi. Al fine di trattare il caso speciale in partenza, ci sarà incorporare x in un xhat vettore più lungo il cui primo M-1 campioni sono pari a zero. Scriveremo la somma ponderata per ogni y (n) come un prodotto interno, e faremo alcune manipolazioni degli ingressi (come inversione b) a tal fine. Questo tipo di sistema è spesso chiamato un filtro a media mobile, per ovvie ragioni. Da nostre precedenti discussioni, dovrebbe essere evidente che tale sistema è lineare e shift-invariante. Naturalmente, sarebbe molto più veloce di utilizzare la funzione di convoluzione MATLAB conv () invece del nostro mafilt (). Invece di considerare il primo M-1 campioni di ingresso pari a zero, potremmo considerare loro di essere la stessa degli ultimi M-1 campioni. Questo è lo stesso come trattare l'ingresso come periodica. Ebbene utilizzare cmafilt () come nome della funzione, una piccola modifica della mafilt precedente funzione (). Nel determinare la risposta all'impulso di un sistema, di solito non c'è differenza tra i due, in quanto tutti i campioni non iniziali di ingresso sono pari a zero: Dato un sistema di questo tipo è lineare e spostare-invariante, sappiamo che il suo effetto sul sinusoide sarà solo in scala e spostarla. Qui è importante che noi usiamo la versione circolare La versione circolare-convoluta è spostato e scalato un po ', mentre la versione con circonvoluzione ordinaria è distorto alla partenza. Vediamo quello che il ridimensionamento e lo spostamento esatto è quello di utilizzare una FFT: Sia ingresso e uscita hanno ampiezza solo a frequenze 1 e -1, che è come dovrebbe essere, dato che l'ingresso era una sinusoide e il sistema è stato lineare. I valori di uscita sono maggiori con un rapporto di 10,62,518 mila 1,3281. Questo è il guadagno del sistema. Che cosa circa la fase Abbiamo solo bisogno di guardare in cui l'ampiezza è diverso da zero: L'ingresso ha una fase di PI2, come avevamo richiesto. La fase di uscita è spostata di un ulteriore 1,0594 (con segno opposto per la frequenza negativa), o circa 16 di un ciclo verso destra, come si può vedere sul grafico. Ora lascia provare una sinusoide con la stessa frequenza (1), ma invece di ampiezza 1 e PI2 di fase, permette di provare l'ampiezza e la fase 1.5 0. Sappiamo che solo la frequenza 1 e -1 avranno diverso da zero ampiezza, così lascia basta guardare a loro: Anche in questo caso il rapporto di ampiezza (15.937712.0000) è 1,3281 - e per quanto riguarda la fase è di nuovo spostato di 1,0594 Se questi esempi sono tipici, siamo in grado di prevedere l'effetto del nostro sistema (risposta impulsiva .1 .2 .3 .4 .5) su qualsiasi sinusoide a frequenza 1 - l'ampiezza sarà aumentato di un fattore di 1,3281 e la frequenza positiva) fase (sarà spostato di 1,0594. Potremmo continuare per calcolare l'effetto di questo sistema sinusoidi di altre frequenze con gli stessi metodi. Ma c'è un modo molto più semplice, e che definisce il punto generale. Poiché convoluzione (circolare) nel dominio del tempo significa moltiplicazione nel dominio della frequenza, da segue che In altre parole, la DFT della risposta all'impulso è il rapporto tra la DFT dell'uscita al DFT dell'ingresso. In questa relazione i coefficienti DFT sono numeri complessi. Poiché abs (C1C2) abs (c1) abs (c2) per tutti i numeri complessi c1, c2, questa equazione ci dice che lo spettro di ampiezza della risposta all'impulso sarà sempre il rapporto dello spettro di ampiezza dell'uscita a quella dell'ingresso . Nel caso dell'angolo spettro di fase, angolo (C1C2) (c1) - angolo (c2) per tutti c1, c2 (con la condizione che le fasi che differiscono di n2pi sono considerati uguali). Pertanto lo spettro di fase della risposta all'impulso sarà sempre la differenza tra gli spettri fase di uscita e l'ingresso (con qualunque correzioni 2pi sono necessari per mantenere il risultato tra - pi e pi). Possiamo vedere gli effetti di fase più chiaramente se scartare la rappresentazione della fase, cioè se si aggiungono vari multipli di 2pi come necessario per minimizzare i salti che sono prodotte dalla natura periodica della funzione dell'angolo (). Sebbene l'ampiezza e la fase sono di solito utilizzati per la presentazione grafica e anche tabulare, poiché sono un modo intuitivo di pensare agli effetti di un sistema sui vari componenti di frequenza del suo ingresso, i coefficienti di Fourier complessi sono più utili algebricamente, in quanto consentono la semplice espressione del rapporto l'approccio generale abbiamo visto possa funzionare con filtri arbitrari del tipo delineato, in cui ogni campione di uscita è una somma pesata di un insieme di campioni di ingresso. Come accennato in precedenza, questi sono spesso chiamati filtri Finite Impulse Response, perché la risposta all'impulso è di dimensione finita, o, talvolta, Moving Average filtri. Possiamo determinare le caratteristiche di risposta in frequenza di un tale filtro dalla FFT della sua risposta all'impulso, e possiamo anche progettare nuovi filtri con caratteristiche desiderate da IFFT da una specificazione della risposta in frequenza. Autoregressive (IIR) Filtri ci sarebbe poco senso avere nomi per filtri FIR a meno che non ci fosse un altro tipo (s) per distinguerli da, e così coloro che hanno studiato pragmatica non sarà sorpreso di sapere che c'è davvero un altro importante tipo di filtro lineare tempo-invariante. Questi filtri sono a volte chiamate ricorsiva perché il valore di output precedente (così come ingressi precedenti) questioni, anche se gli algoritmi sono generalmente scritti usando costrutti iterativi. Essi sono chiamati anche filtri Infinite Impulse Response (IIR), perché in generale la loro risposta ad un impulso va avanti per sempre. Talvolta sono anche chiamati filtri autoregressivi, poiché i coefficienti possono essere considerati come il risultato di fare regressione lineare per esprimere i valori dei segnali in funzione dei valori di segnale precedenti. Il rapporto di filtri FIR e IIR può essere visto chiaramente in un'equazione differenza costante coefficiente lineare, ossia impostando una somma pesata di uscite pari ad una somma pesata di ingressi. Questo è come l'equazione che abbiamo dato in precedenza per il filtro FIR causale, tranne che, oltre alla somma ponderata degli input, abbiamo anche una somma pesata di uscite. Se vogliamo pensare a questo come una procedura per la generazione di campioni di uscita, abbiamo bisogno di riorganizzare l'equazione per ottenere un'espressione per il campione y uscita in corrente (n), adottando la convenzione che un (1) 1 (ad esempio scalando altro come e BS), siamo in grado di sbarazzarsi della 1a (1) termine: y (n) B (1) x (n) b (2) x (n-1). b (NB1) x (n-nb) - a (2) y (n-1) -. - Un (NA1) y (n-na) Se tutti un (n) diverso da (1) sono zero, questo riduce al nostro vecchio amico il filtro FIR causale. Questo è il caso generale di un (causale) Filtro LTI, ed è implementato dal filtro funzione MATLAB. Vediamo il caso dove il B coefficienti diversi da b (1) sono zero (invece del caso FIR, dove a (n) sono zero): In questo caso, il campione di uscita y corrente (n) viene calcolato come ponderata combinazione del campione x ingresso corrente (n) e le precedenti campioni di uscita y (n-1), y (n-2), ecc Per avere un'idea di ciò che accade con tali filtri, lascia l'inizio con il caso in cui: Cioè, il campione di uscita corrente è la somma della corrente di ingresso del campione e la metà del campione di uscita precedente. Ebbene prendere un impulso di ingresso attraverso un qualche tempo passi, uno alla volta. Dovrebbe essere chiaro a questo punto che possiamo facilmente scrivere un'espressione per il valore di campionamento di uscita n-esima: si tratta solo (se MATLAB contata da 0, questo sarebbe semplicemente .5n). Poiché ciò che stiamo calcolando è la risposta all'impulso del sistema, abbiamo dimostrato con l'esempio che la risposta all'impulso può infatti avere infiniti campioni diversi da zero. Per implementare questa banale filtro del primo ordine in MATLAB, potremmo usare il filtro. La chiamata sarà simile a questo: e il risultato è: è questo business davvero ancora lineare Possiamo guardare a questo empiricamente: Per un approccio più generale, si consideri il valore di un campione di uscita y (n). Con la sostituzione successiva potremmo scrivere questo come questo è proprio come il nostro vecchio amico forma convoluzione somma di un filtro FIR, con la risposta all'impulso fornito dal .5k espressione. e la lunghezza della risposta all'impulso essendo infinito. Così gli stessi argomenti che abbiamo usato per dimostrare che filtri FIR è lineare verrà ora applicata qui. Finora questo può sembrare come un sacco di storie per non molto. Che cosa è tutta questa linea di indagine buono per ben rispondere a questa domanda in più fasi, a partire da un esempio. La sua non è una grande sorpresa che siamo in grado di calcolare un esponenziale campionato per moltiplicazione ricorsiva. Vediamo un filtro ricorsivo che fa qualcosa di meno ovvio. Questo tempo ben rendono un filtro del secondo ordine, in modo che la chiamata per filtrare sarà della scheda consente impostato secondo a2 coefficiente uscita -2cos (2pi40), e il terzo coefficiente uscita a3 1 e osservare l'impulso risposta. Non molto utile come un filtro, in realtà, ma non genera una sinusoide campionata (da un impulso) con tre moltiplicare-aggiunge per campione Per comprendere come e perché lo fa, e come filtri ricorsiva può essere progettato e analizzato il caso più generale, abbiamo bisogno di fare un passo indietro e dare un'occhiata ad alcune altre proprietà di numeri complessi, sulla strada per comprendere la z trasformare.
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